В чём ошибся Шерлок Холмс: рассказывает математик
Шерлок Холмс известен своей блистательной и несокрушимой дедукцией, но даже великий сыщик с Бейкер-стрит иногда ошибается. Публикуем главу из книги «Время переменных», в которой математик и журналист Бен Орлин рассказывает, как Холмс допустил элементарную ошибку и как на самом деле можно разгадать загадку велосипедиста из рассказа «Случай в интернате».
Загадка велосипедиста
В английской школе случается беда — так начинается рассказ Конан Дойля «Случай в интернате». Из общежития исчезает десятилетний сын богатого герцога. Также пропали преподаватель немецкого языка, один-единственный велосипед, и отсутствует какая-либо линия, объединяющая все разнородные факты. После того как местная полиция терпит неудачу, отчаявшийся директор школы приходит в квартиру по адресу Бейкер-стрит 221В, чтобы попросить о помощи самого почитаемого из всех вымышленных сыщиков.
— Мистер Холмс, — говорит он, — речь идет о деле чрезвычайной важности, и я умоляю вас применить все свои способности, чтобы раскрыть эту тайну!
Несколько часов спустя Шерлок Холмс и доктор Ватсон крадутся по «бурой торфяной равнине» и натыкаются на первую подсказку: «вьющуюся черной лентой тропинку. Посередине, на сырой земле, четко виднелись отпечатки велосипедных колес». Именно в этот момент Холмс пускает в ход классический дедуктивный метод:
— Эти следы, как вы сами можете убедиться, ведут от школы. — Или по направлению к школе. — Нет, мой дорогой Ватсон. Отпечаток заднего колеса всегда глубже, потому что на него приходится бо́льшая тяжесть. Вот видите? В нескольких местах он совпал с менее ясным отпечатком переднего и продавил его. Нет, велосипедист, несомненно, ехал от школы.
В чём ошибся Шерлок Холмс
Какие достижения в физике! Какие гениальные способности к геометрии! Есть только одна проблема, которую маскирует сладкоголосая проза и которую показывает самая простая схема.
Здесь мы видим более толстую линию, пересекающую более тонкую. Понятно ли из этого, каким путем ехал велосипед? Увы, нет, потому что Холмс допустил нехарактерную для него ошибку.
След заднего колеса всегда пересекает след переднего. Это не дает никакой подсказки по поводу направления, но является простым следствием особенностей конструкции велосипеда, где переднее колесо может поворачиваться, тогда как заднее остается закрепленным.
Как Холмс мог так опростоволоситься? «Возможно, — предполагает профессор математики Эдвард Бендер, — он недавно принял очередную дозу опиума». Кто-то может обвинить сэра Артура Конан Дойля, но я считаю, Холмс должен нести ответственность за свои ошибки, как и любой вымышленный персонаж.
Как решить загадку велосипедиста
К счастью для герцога, существует точный и элегантный метод выяснить, в каком направлении двигался велосипед, по оставленным им следам. Этот метод основывается на простом, но действенном понятии дифференциального анализа — касательной.
В математике касательная совпадает с кривой в одной точке. Так она на какое-то мимолетное мгновение принимает относящееся к конкретному моменту направление кривой, её производную.
Например, если кривая изображает путь машины, то касательная будет указывать направление света фар. Или, для более наглядной демонстрации, привяжите веревку к камню, раскрутите его над головой и подождите, пока веревка порвется. Камень полетит по прямой: касательная — это его путь в момент разрыва.
А что же насчет велосипеда? Поскольку заднее колесо закреплено на раме, в любой отдельно взятый момент оно гонится за передним. Другими словами, его направление в конкретный момент движения указывает туда, где находится переднее колесо.
Давайте проверим этот факт при помощи приведенной ранее загадки. Без каких-либо подсказок о глубине следа можем ли мы определить, где отпечаток переднего колеса?
Элементарно, мой дорогой Холмс! Просто найдите момент вдоль одной из линий, когда касательная указывает в пространство, в направлении, куда велосипед никогда не ехал. Могло ли заднее колесо повернуться туда? Никогда! Оно всегда повторяет поведение переднего колеса. Таким образом, линия с направленными вовне касательными должна принадлежать переднему колесу.
В каком же направлении двигается велосипед?
Есть только два возможных варианта. Во-первых, предположим, что велосипед двигается слева направо. Проведем соответствующие касательные для заднего колеса, продлив их до тех пор, пока они не пересекутся со следом переднего.
Расстояние от заднего до переднего колеса вдоль касательной должно соответствовать длине велосипеда. Но здесь это расстояние меняется от точки к точке. Нам остается только заключить, что во время своего путешествия велосипед менял длину, как двухколесная игрушка на пружине. Такой велосипед должен бы принадлежать ездоку, не имеющему себя равных в ловкости и обладающему сомнительным здравомыслием.
В «Случае в интернате» есть подходящий комментарий:
— Холмс! — воскликнул я. — Это неправдоподобно! — Браво! — сказал он. — Вывод исчерпывающий. В моем изложении событий есть что-то неправдоподобное, следовательно, я допустил ошибку… Где же я ошибаюсь?
В нашем случае ошибка совершенно ясна. Мы не рассмотрели альтернативу — ведь велосипед мог двигаться справа налево.
Ага! Эти касательные, к счастью, одной длины. Они говорят о велосипеде прочной конструкции, вполне правдоподобном. Значит, мы можем прийти к выводу, что велосипед двигался в этом направлении.
Разве это не замечательный ход мысли? Он позволяет увидеть за следами факты и, расшифровав язык геометрии, раскрыть истину. Тщательное изучение улик сочетается здесь с безупречным логическим анализом. Разве не в этом секрет триумфа гениального сыщика — и, в нашем случае, высшей математики?
Рекомендуем книгу
