Покер и математика

А вы знаете, что в покер выиграть проще, чем в лотерею? Количество выигрышных комбинаций в покере практически такое же, как и «пустых». А вот ценность у комбинаций разная.

Профессор математики и профессиональный фокусник Артур Бенджамин в книге «Магия математики: Как найти икс и зачем это нужно» рассказывает, от чего зависит ценность комбинаций и как игрокам рассчитать свои шансы на победу.

Для начала немного о сочетаниях и комбинациях

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя — их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке, если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно — в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

Другой способ представить 10 × 9 × 8 — 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек — 10!/3!7!. Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом

Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n, из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k» и подсчитывается по формуле

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями. Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр.

Лотерея

Подсчет сочетаний необходим в большинстве задач, в которых большую роль играет случайность. Представим себе лотерею, в которой вам нужно угадать 5 различных чисел от 1 до 47. Дополнительно вы выбираете еще одно, МЕГА-число от 1 до 27 (можно выбирать любое, в том числе и одно из тех, которые уже встречались в пятерке). Таким образом, общее количество равно

Другими словами, ваш шанс выиграть главный приз в такой лотерее — примерно 1 из 40 миллионов.

А теперь покер

Комбинация в покере — это обычно 5 карт из 52 составляющих колоду. Все они разные, выбраны случайно, порядок их значения не имеет. Следовательно, количество комбинаций равняется

Комбинация из 5 карт одной и той же масти называется флешем.

Чтобы посчитать, сначала выберем масть — 1 из 4 вариантов (давайте договоримся, что это будут пики). Сколько всего можгно собрать комбинаций разных пяти карт этой масти? В колоде 13 пиковых карт. Значит, флешей всего

и наши шансы получить один из них составляют 5148/2 598 960, то есть примерно 1 к 500. Любители покера теперь могут вычесть из 5148 призведение 4 × 10 = 40, чтобы узнать, какова вероятность, что собрать стрит флеш — такой флеш, в котором карты одной масти идут подряд по старшинству.

При простом стрите масти в расчет не принимаются, главное — последовательный набор карт: Т-2-3-4-5 или 2-3-4-5-6, или ..., или 10-В-Д-К-Т. Вот так, например:

Стрит может сложиться из 10 разных комбинаций (ценность которых определяется «ценностью» младшей карты). Определив ту из них, которая нужна нам (пусть будет 3-4-5-6-7), мы выбираем одну из 4 мастей, которой должны быть все карты. Следовательно, количество комбинаций стрита равняется 10×45=10 240. то есть, почти в 2 раза выше, чем у флеша. А шанс его получить — 1 к 250. Именно поэтому флеш в покере ценится больше: его куда сложнее собрать.

Еще более ценен фул-хаус — 3 карты одного достоинства плюс 2 карты другого. Что-то вроде этого

Чтобы подсчитать свои шансы на фул-хаус, нам сперва нужно выбрать необходимое нам достоинство, которое попадется нам трижды (13 вариантов), потом — то, которое попадется дважды (12 вариантов). Допустим, нам нужны 3 дамы и 2 семерки. Определимся с мастями. Получить нужных нам дам можно

Общее количество фул-хаусов, таким образом, равняется 13×12×4×6=3744. Следовательно, вероятность его собрать — 3 744/2 598 960 или 1 к 700.

От фул-хаусов перейдем к двум парам. Здесь нам нужны две карты одного достоинства, еще две — другого, и последняя — третьего, например

Пытаясь посчитать количество возможных пар, многие ошибочно начинают с 13 × 12, как в случае с фул-хаусами. Но теперь нам нужно немного другое, ведь здесь вероятность получить две семерки после двух дам — это абсолютно то же, что и получить двух дам после двух семерок.

Поэтому правильно будет начать с сочетаний из 13 по 2 (имея в виду и семерки, и дам), потом выбрать новое достоинство для непарной карты (пусть это будет пятерка), затем выбрать масти. Количество комбинаций с двумя парами —

Появляются они в 5% случаев.

Подробнее на всех вариантах раздач мы останавливаться не будем, но я попрошу вас взглянуть на следующие подсчеты и проверить, насколько они верны. Комбинаций с каре (четыре карты одного достоинства) вроде Т♠Т♥Т♦Т♣8♦, может быть

А сколько же может быть «пустых» комбинацций— без пар, без стритов и без флешей? Можете, конечно, сложить все числа, которые мы получили до этого и вычесть сумму из сочетаний 52 по 2, но я облегчу вам жизнь и просто дам ответ:

Первая часть — это количество комбинаций 5 карт разного достоинства за вычетом 10 последовательных (вроде 3-4-5-6-7). Следующая часть охватывает вероятные «расклады» этих 5 карт разного достоинства; для каждого достоинства у нас есть 4 варианта, но при этом мы должны исключить возможность того, что все они встретятся в одном «раскладе». Все это значит, что наши шансы собрать «пустую» комбинацию — 50,1 %. А еще это значит, что в 49,9 % случаев мы будем играть как минимум с одной парой. Гораздо больше, чем выигрышных билетов в лотерею, правда?

Я уже говорил чуть выше, что «цена» комбинаций в покере зависит от частоты их появлений: чем реже комбинация, тем она «ценнее». То есть, если шансов собрать одну пару больше, чем сразу две, одна пара ценится куда меньше двух. Вот «стоимость» всех комбинаций, от меньшей к большей:

Пара

Две пары

Тройка

Стрит

Флеш

Фул-хаус

Каре (или «четверка»)

Стрит-флеш